Theorem ya sine. Kutatua pembetatu

Utafiti wa pembetatu huwafufua swali la kuhesabu uhusiano kati ya pande na pembe zao. Katika jiometri, theorem ya cosine na sine inatoa jibu kamili zaidi ya kutatua tatizo hili. Katika wingi wa maneno mbalimbali ya hisabati na kanuni, sheria, theorems na sheria, kuna vile ambavyo vinatofautiana katika umoja wa ajabu, usahihi na unyenyekevu katika kuwasilisha maana yaliyomo ndani yao. Theorem ya sine ni mfano mzuri wa uundaji huo wa hisabati. Ikiwa katika ufafanuzi wa maneno pia kuna kikwazo fulani katika kuelewa utawala huu wa hisabati, basi wakati unatazama formula ya hisabati kila kitu huwa mahali pake.

Taarifa ya kwanza kuhusu theorem hii ilipatikana kwa namna ya ushahidi wake katika mfumo wa kazi ya hisabati ya Nasir ad-Din Al-Tusi, ya karne ya kumi na tatu.

Kukaribia karibu na kuzingatia uwiano wa kipengele na pembe katika pembetatu yoyote, ni muhimu kuzingatia kwamba theorem ya sine inaruhusu kutatua matatizo mengi ya hisabati, wakati sheria hii ya jiometri inapata matumizi yake katika aina mbalimbali za shughuli za kibinadamu.

Theorem yenyewe yenyewe inasema kuwa kwa pembetatu yoyote uwiano wa pande kwa dhambi za kinyume kinyume ni tabia. Pia kuna sehemu ya pili ya theorem hii, kulingana na ambayo uwiano wa upande wowote wa pembetatu hadi sine ya angle kinyume ni sawa na kipenyo cha mviringo iliyoelezwa karibu na pembe tatu inayozingatiwa.

Kwa fomu ya formula, maneno haya yanaonekana

A / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Ina theorem ya uthibitishaji usio, ambao katika matoleo mbalimbali ya vitabu hutolewa katika aina nyingi za matoleo.

Kwa mfano, fikiria moja ya ushahidi unaoelezea sehemu ya kwanza ya theorem. Ili kufikia mwisho huu, hebu tuweke lengo la kuthibitisha uhalali wa maneno ya a SinC = C SinA.

Katika pembe tatu za ABC tunajenga urefu wa BH. Katika moja ya tofauti ya ujenzi, H atasema uongo juu ya sehemu ya AC, na kwa upande mwingine zaidi ya mipaka yake, kulingana na pembe kwenye wimbo wa pembetatu. Katika kesi ya kwanza, urefu unaweza kuelezewa kwa upande wa pembe na pande za pembetatu, kama BH = sinC na BH = c sinA, ambayo ni ushahidi unahitajika.

Katika hali ambapo hatua H iko nje ya mipaka ya sehemu AC, tunaweza kupata ufumbuzi wafuatayo:

BH = sinC na BH = c dhambi (180-A) = c sinA;

Au BH = dhambi (180-C) = sinC na BH = c sinA.

Kama unaweza kuona, bila kujali chaguzi za ujenzi, tunakuja matokeo ya taka.

Ushahidi wa sehemu ya pili ya theorem inatuhitaji kuelezea mduara kuzunguka pembetatu. Kupitia moja ya urefu wa pembetatu, kwa mfano B, tunajenga ukubwa wa mduara. Pata hatua kwenye duru D na moja ya urefu wa pembetatu, basi iwe ni hatua A ya pembetatu.

Ikiwa tunazingatia pembetatu za ABD na ABC, basi tunaweza kuona usawa wa pembe za C na D (zinazingatia arc moja). Na kuzingatia kwamba angle A ni nyuzi tisini basi dhambi D = c / 2R, au dhambi C = c / 2R, kama inahitajika.

Theorem sine ni mwanzo wa kutatua matatizo mbalimbali. Kivutio maalum ni matumizi yake ya vitendo, kama matokeo ya theorem, tunaweza kuelezea maadili ya pande za pembetatu, pembe za kupinga na radius (mduara) wa mzunguko unazunguka pembe tatu. Unyenyekevu na upatikanaji wa fomu inayoelezea maelezo haya ya hisabati iliwezekana kutumia sana theorem hii kwa kutatua matatizo kwa kutumia vifaa mbalimbali vya kuhesabu mitambo (watawala wa logarithmic, meza, nk), lakini hata kufika kwa vifaa vya kompyuta vya nguvu katika utumishi wa mtu haukupunguza umuhimu wa theorem hii.

Theorem hii sio tu ni pamoja na kozi ya lazima ya jiometri ya shule ya sekondari, lakini inatumika zaidi katika matawi fulani ya shughuli za vitendo.