Equation kwa ndege: jinsi ya kufanya? Aina ya ndege milinganyo

nafasi ya ndege unaweza kuelezwa kwa njia tofauti (nukta moja na vector, vector na pointi mbili, pointi tatu, nk). Ni kwa hili akilini, ndege equation unaweza kuwa na aina mbalimbali. Pia katika hali fulani ya ndege inaweza kuwa sambamba, perpendicular, hupishana, nk On hili na majadiliano katika makala hii. Sisi kujifunza kufanya equation ya jumla ya ndege na si tu.

aina ya kawaida ya equation

Tuseme R ni nafasi _{ya 3,} ambayo ina mstatili kuratibu mfumo XYZ. Sisi kufafanua vector α, ambayo kuachiliwa kutoka mwanzo O. Kupitia mwa α vector kuchora ndege P ambayo ni perpendicular yake.

Kuashiria P katika holela uhakika Q = (x, y, z). Radius vector ya uhakika Q ishara mbili p. urefu wa vector sawa p α = IαI na Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Kitengo hiki vector, ambayo ni moja kwa moja katika mwelekeo kama α vector. α, β na γ - ni pembe ambayo ulioanzishwa kati ya vector na maelekezo mazuri Ʋ nafasi shoka x, y, z mtiririko huo. makadirio ya uhakika juu ya vector QεP Ʋ ni mara kwa mara ambayo ni sawa na p (p, Ʋ) = p (r≥0).

equation hapo juu ni ya maana wakati p = 0. tu n ndege katika kesi hii, je, msalaba uhakika O (α = 0), ambayo ni asili, na kitengo vector Ʋ, iliyotolewa kutoka hatua O itakuwa perpendicular P, pamoja na kwamba mwelekeo wake, ambayo ina maana kwamba vector Ʋ kuamua hadi ishara. equation uliopita ni ndege yetu P, walionyesha katika mfumo vector. Lakini katika mtazamo wa kuratibu yake ni:

P ni mkubwa kuliko au sawa na 0. Tumegundua ndege equation katika mfumo wa kawaida.

equation ya jumla

Kama equation katika kuratibu kuzidisha kwa idadi yoyote kwamba si sawa na sifuri, sisi kupata equation sawa na hii kwamba amefafanua ndege sana. Itakuwa na fomu ifuatayo:

Hapa, A, B, C - ni idadi ya wakati huo huo tofauti na sifuri. equation Hii inaitwa equation ya hali ya kijumla ya ndege.

milinganyo ya ndege. kesi maalum

equation unaweza ujumla iliyopita na hali ya ziada. Fikiria baadhi yao.

Kudhani kwamba mgawo A 0. Hii inaonyesha kuwa ndege sambamba na predetermined mhimili Ng'ombe. Katika hali hii, mfumo wa equation mabadiliko: Wu + Cz + D = 0.

Vile vile, mfumo wa equation na kutofautiana na masharti yafuatayo:

• Kwanza, kama B = 0, mabadiliko equation kwa Axe + Cz + D = 0, ambayo yanaonyesha usambamba kwa mhimili Oy.
• Pili, ikiwa C = 0, equation ni kugeuza Axe + By + D = 0, kwamba ni kusema kuhusu sambamba na mhimili predetermined Oz.
• Tatu, ikiwa D = 0, equation itaonekana kama Axe + By + Cz = 0, ambayo itakuwa na maana kwamba ndege inayokutana O (asili).
• Nne, kama A = B = 0, mabadiliko equation kwa Cz + D = 0, ambayo kuthibitisha kwa usambamba Oxy.
• Tano, ikiwa B = C = 0, equation inakuwa Axe + D = 0, ambayo ina maana kwamba ndege ni sambamba na Oyz.
• Sita, kama A = C = 0, equation unachukua sura Wu + D = 0, yaani, itakuwa ripoti kwa usambamba Oxz.

Fomu ya equation katika makundi

Iwapo idadi A, B, C, D tofauti na sifuri, hali ya equation (0) inaweza kuwa kama ifuatavyo:

x / a + y / b + z / c = 1,

ambayo = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Sisi kupokea kutokana equation kwa ndege katika vipande. Ikumbukwe kwamba ndege hii utapatana x-mhimili katika hatua na kuratibu (, 0,0), Oy - (0, b, 0), na Oz - (0,0, s).

Kutokana equation x / a + y / b + z / c = 1, si vigumu kuwazia uwekaji ndege ikilinganishwa na predetermined kuratibu mfumo.

viwianishi vya vector kawaida

kawaida vector n kwa ndege P ina viwianishi walio coefficients ya equation ya jumla ya ndege, yaani n (A, B, C).

Ili kuamua viwianishi vya n kawaida, inatosha kujua equation ya jumla kutokana ndege.

Wakati wa kutumia equation katika sehemu ambayo ina aina x / a + y / b + z / c = 1, kama na equation ya jumla, tunaweza kuandika viwianishi vya yoyote ya vector ya kawaida ya ndege kutokana na: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ikumbukwe kwamba vector kawaida ya kusaidia kutatua matatizo mbalimbali. matatizo ya kawaida ni yenye katika ndege ushahidi perpendicular au sambamba, kazi ya kutafuta pembe kati ya ndege au pembe kati ya ndege na mistari moja kwa moja.

Aina kulingana na equation ndege na kuratibu ya uhakika ya kawaida vector

nonzero vector n, perpendicular ndege fulani, kuitwa kawaida (ya kawaida) kwa ndege ya predetermined.

Tuseme kwamba katika kuratibu nafasi (mstatili kuratibu mfumo) Oxyz kuweka:

• Mₒ uhakika na kuratibu (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = * i + B * j + C * k.

Unahitaji kufanya equation kwa ndege hiyo hupitia Mₒ uhakika perpendicular n kawaida.

Katika nafasi tunachagua wowote holela na kuashiria M (x, y, z). Hebu Radius vector wa kila M uhakika (x, y, z) itakuwa r = x * i + y * j + z * k, na Radius vector ya uhakika Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. uhakika M itakuwa ni mali ya ndege fulani, kama vector MₒM perpendicular n vector. Sisi kuandika hali ya orthogonality kutumia bidhaa scalar:

[MₒM, n] = 0.

Tangu MₒM = r-rₒ, vector equation ndege kuangalia kama hii:

[R - rₒ, n] = 0.

equation hii pia kuwa na sura nyingine. Kwa ajili hiyo, mali ya bidhaa scalar, na kubadilishwa upande wa kushoto wa equation. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Kama [rₒ, n] ulionyehsa kama s, sisi kupata equation zifuatazo: [r, n] - a = 0 au [r, n] = s, inayoeleza uthabiti wa makadirio ya vector ya kawaida ya Radius-wadudu ya pointi Kutokana na kwamba ni mali ya ndege.

Sasa unaweza kupata kuratibu ya aina ya kurekodi ndege vector yetu mlingano [r - rₒ, n] = 0. Kwa kuwa r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, na n = * i + B * j + C * k, kuna:

Ni zinageuka kuwa tuna equation inaundwa ndege kupitia hatua perpendicular n kawaida:

* (X hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Aina kulingana na equation ndege na kuratibu ya pointi mbili collinear vector ndege

Sisi kufafanua pointi mbili holela M '(x', y ', z') na M "(x", y ", z"), ikiwa ni pamoja na vector (a ', a ", ‴).

Sasa tunaweza kuandika equation predetermined ndege ambayo hupitia zilizopo uhakika M 'na M ", na kila hatua na kuratibu M (x, y, z) sambamba na vector huo.

Hivyo M'M wadudu x = {x ', y-y'; zz '} na M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} lazima coplanar na vector a = (a ', a ", ‴), ambayo ina maana kwamba (M'M M" M, a) = 0.

Hivyo equation yetu ya ndege katika nafasi kuangalia kama hii:

Aina ya ndege equation, kuvuka pointi tatu

Tuseme tuna pointi tatu: (x ', y', z "), (x ', y', z"), (x ‴ Je ‴, z ‴), ambayo si mali ya mstari huo. Ni muhimu kuandika equation kwa ndege kupitia pointi tatu maalum. jiometri nadharia anasema kuwa aina hii ya ndege gani zipo, ni moja na tu tu. Kwa kuwa ndege hii inayokutana uhakika (x ', y', z "), equation hali yake itakuwa:

Hapa, A, B, na C ni tofauti na zero kwa wakati mmoja. Pia kutokana na ndege inayokutana pointi mbili zaidi (x ", y", z ") na (x ‴ y ‴, z ‴). Katika uhusiano huu ufanyike aina hii ya hali ya:

Sasa tunaweza kuunda mfumo sare ya milinganyo (linear) na unknowns u, v, w:

Kwa upande wetu x, y au z anasimama uhakika holela ambayo satisfies equation (1). Kuzingatia equation (1) na mfumo wa equations (2) na (3) mfumo wa equations unahitajika katika takwimu hapo juu, vector satisfies N (A, B, C) ambayo ni nontrivial. Ni kwa sababu determinant ya mfumo ni sifuri.

Mlinganyo (1) kwamba sisi tumepewa, hii ni equation ya ndege. 3 kumweka yeye kweli inakwenda, na ni rahisi kuangalia. Kwa kufanya hivyo, sisi kupanua determinant na vipengele katika safu ya kwanza. Ya mali zilizopo determinant ifuatavyo kwamba ndege yetu wakati huo huo inayokutana tatu awali predetermined uhakika (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴ y ‴, z ‴). Hivyo tuliamua na kazi mbele yetu.

Dihedral pembe kati ya ndege

Dihedral angle ni anga geometric sura iliundwa na mbili na nusu ndege ambazo zinatokana na line moja kwa moja. Kwa maneno mengine, sehemu ya nafasi ambayo ni mdogo kwa nusu ndege.

Tuseme tuna ndege mbili na milinganyo yafuatayo:

Tunajua kwamba vector N = (A, B, C) na N¹ = (A¹, H¹, S¹) kulingana na ndege predetermined ni perpendicular. Katika suala hili, angle φ kati wadudu N na N¹ sawa ya pembe (dihedral), ambayo iko kati ya ndege hizo. bidhaa scalar anapewa na:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

just kwa sababu

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ni kutosha kwa kuzingatia kwamba 0≤φ≤π.

Kwa kweli mbili ndege vinavyokutana, fomu mbili ya pembe (dihedral): φ ₁ na φ _2. Jumla yao ni sawa na ¬ (φ ₁ + φ ₂ = π). Kama kwa cosines yao, maadili yao kamili ni sawa, lakini ni ishara mbalimbali, ambayo ni, cos φ ₁ = -cos φ _2. Kama katika equation (0) ni kubadilishwa kwa A, B na C ya -A, -B na -C mtiririko huo, equation, sisi kupata, itaonyesha ndege hiyo, angle tu φ katika equation cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Itakuwa kubadilishwa na π-φ.

equation ndege perpendicular

Kuitwa perpendicular ndege, kati ya ambayo angle ni nyuzi 90. Kwa kutumia vifaa iliyotolewa hapo juu, tunaweza kupata equation ndege perpendicular nyingine. Tuseme tuna ndege mbili: Axe + By + Cz + D = 0, na + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Tunaweza kusema kuwa wao ni orthogonal kama cos = 0. Hii ina maana kwamba NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

equation ndege sambamba

Ni inajulikana ndege mbili sambamba ambayo huwa bila pointi kwa pamoja.

hali ya ndege sambamba (milinganyo yao ni sawa na katika aya ya awali) ni kwamba wadudu N na N¹, ambayo ni perpendicular yao, collinear. Hii ina maana kwamba masharti yafuatayo yatimizwe uwiano:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ikiwa sheria sawia ni kupanua - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

hii inaonyesha kwamba ndege data ya moja. Hii ina maana kwamba equation Axe + By + Cz + D = 0 na + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 kuelezea ndege moja.

umbali kutoka hatua kwa ndege

Tuseme tuna ndege P, ambayo ni yaliyotolewa na (0). Ni muhimu kupata umbali kutoka hatua na kuratibu (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Wewe haja ya kuleta equation katika ndege II kuonekana ya kawaida ya kufanya hilo:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Katika hali hii, ρ (x, y, z) ni Radius vector ya maoni yetu Q, ziko juu n p - n ni urefu wa perpendicular, ambayo ilitolewa kutoka hatua zero, v - ni kitengo vector, ambayo ni mpangilio katika mwelekeo.

tofauti ρ-ρº Radius vector ya uhakika Q = (x, y, z), mali ya n na Radius vector ya uhakika kutokana na Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ni kama vector, thamani kamili ya makadirio ya ambayo juu ya v sawa umbali d, ambayo ni muhimu kupata kutoka Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) kwa P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, lakini

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Hivyo ni zamu nje,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Sasa ni wazi kwamba kuhesabu ya umbali d kuanzia ₀ hadi Q ndege P, ni muhimu kutumia ya kawaida ya kutazama ndege equation, kuhama upande wa kushoto wa p, na mahali ya mwisho ya x, y, z mbadala (hₒ, uₒ, zₒ).

Hivyo, tunapata thamani kamili ya kujieleza na kusababisha ambao unahitajika d.

Kwa kutumia vigezo ya lugha, sisi kupata wazi:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Kama maalum hatua Q ₀ ni upande wa pili wa ndege P kama asili, basi kati ya vector ρ-ρ ⁰ na v ni butu pembe, kuwa:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Katika kesi wakati hatua Q ₀ kwa kushirikiana na asili iko upande huo wa U, angle ya papo hapo imeundwa, yaani:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Matokeo yake ni kwamba katika kesi ya zamani (ρ ^0, v)> p, katika pili (ρ ^0, v)

Na wake tangent ndege equation

Kuhusu ndege ya uso katika hatua ya tangency Mº - ndege zenye tangent zote iwezekanavyo ili Curve inayotolewa kwa njia ya hatua ya juu ya ardhi.

Na fomu hii ya uso wa equation F (x, y, z) = 0 katika equation ya tangent ndege tangent uhakika Mº (hº, uº, zº) itakuwa:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Kama uso ni kuweka wazi z = f (x, y), basi tangent ndege ni ilivyoelezwa na equation:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

makutano ya ndege mbili

Katika nafasi ya pande tatu ni kuratibu mfumo (mstatili) Oxyz, kutokana ndege mbili P 'na P' kwamba kuingiliana na wala sanjari. Kwa kuwa ndege yoyote, ambayo ni katika mstatili kuratibu mfumo inavyoelezwa na equation ujumla, sisi kudhani kwamba n 'na n "yanatokana na milinganyo A'x + V'u S'z + + D' = 0 na" + B x '+ y na "z + D" = 0. Katika hali hii tuna n kawaida '(A', B ', C') kwa ndege P 'na n kawaida "(A", B ", C") ya ndege P'. Kama ndege yetu si sambamba na si sanjari, basi wadudu hizi si collinear. Kwa kutumia lugha ya hisabati, tuna hali hii inaweza kuandikwa kama: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Na", λ * Katika ", λ * C"), λεR. Acha mstari sawa ambayo ipo katika makutano P 'na P ", itakuwa ulionyehsa kwa barua, katika kesi hii a = P' ∩ P".

na - mstari yenye wingi wa pointi (ya kawaida) ndege P 'na P ". Hii ina maana kwamba viwianishi vya wowote wa mali ya mstari a, lazima wakati huo huo kukidhi equation A'x + V'u S'z + + D '= 0 na "x + B' + C y" z + D "= 0. Hii ina maana kwamba kuratibu ya uhakika itakuwa suluhisho pekee ya milinganyo yafuatayo:

Matokeo yake ni kwamba ufumbuzi (jumla) wa mfumo huu wa equations itaonyesha viwianishi vya kila mmoja wa pointi kwenye mstari ambayo itachukua hatua kama hatua ya makutano P 'na P ", na kuamua line katika mfumo wa kuratibu Oxyz (mstatili) nafasi.