Utawala Cramer na matumizi yake

utawala Cramer ya - ni moja ya njia za halisi kwa ajili ya kutatua mifumo ya milinganyo linear algebraic (Slough). usahihi wake kutokana na matumizi ya vigezo ya mfumo Matrix, pamoja na baadhi ya vikwazo vilivyowekwa katika ushahidi wa theorem.

mfumo wa equations linear algebraic na coefficients mali ya, kwa mfano, wingi wa R - idadi halisi ya unknowns x1, x2, ..., xn ni mkusanyiko wa maneno

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi na i = 1, 2, ..., m, (1)

ambapo aij, bi - idadi halisi. Kila moja ya maneno haya inaitwa equation linear, aij - coefficients ya unknowns, bi - coefficients huru ya equations.

ufumbuzi wa (1) inajulikana n-dimensional vector x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), ambapo badala katika mfumo kwa unknowns x1, x2, ..., xn, kila mmoja mistari katika mfumo inakuwa bora equation .

mfumo inaitwa thabiti kama ina ufumbuzi angalau moja, na haiendani, kama ni sanjari na kuweka ufumbuzi wa seti tupu.

Ni lazima ikumbukwe kwamba ili kupata ufumbuzi wa mifumo ya milinganyo linear kutumia njia ya Cramer, mifumo Matrix kuwa mraba, ambayo ina maana idadi sawa ya unknowns na milinganyo katika mfumo.

Hivyo, kutumia njia Cramer, lazima angalau kujua nini Matrix ni mfumo wa equations linear algebraic, na ni iliyotolewa. Na pili, kuelewa nini inaitwa determinant ya tumbo na ujuzi lake la hesabu.

Hebu kudhani kwamba elimu hii nayo. Ajabu! Kisha una kukariri tu formula kuamua Kramer mbinu. Kurahisisha kukariri kutumia nukuu ifuatayo:

• Det - determinant kuu ya tumbo ya mfumo;

• deti - ndiyo sababu ya tumbo zilizopatikana kutoka Matrix msingi wa mfumo kwa kuondoa i-th safu ya tumbo kwa vector safu ambaye mambo ni pande haki ya milinganyo mstari algebraic;

• n - idadi ya unknowns na milinganyo katika mfumo.

Kisha Cramer ya utawala hesabu i-th sehemu xi (i = 1, .. n) n-dimensional vector x inaweza kuandikwa kama

xi = deti / Det, (2).

Katika hali hii, Det madhubuti tofauti na sifuri.

upekee wa ufumbuzi wa mfumo wakati ni pamoja zinazotolewa na hali ya kukosekana kwa usawa wa determinant kuu ya mfumo kwa sifuri. Kama sivyo, iwapo Jumla ya (xi), mraba, madhubuti chanya, basi SLAE Matrix mraba ni infeasible. Hii inaweza kutokea hasa wakati angalau moja ya nonzero deti.

Mfano 1. Ili kutatua pande tatu LAU mfumo wa kutumia formula Cramer ya.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Uamuzi. Sisi kuandika Matrix mfumo mstari kwa mstari, ambapo Ai - ni mstari i-th ya tumbo.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Column bure coefficients b = (31 29 10).

mfumo kuu ndiyo sababu Det
Det = A11 A22 a33 + A12 A23 a31 + a31 A21 a32 - a13 A22 a31 - A11 a32 A23 - a33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Mahesabu ya permutation det1 kutumia A11 = B1, A21 = B2, a31 = b3. kisha
det1 = b1 A22 a33 + A12 A23 b3 + a31 B2 a32 - a13 A22 b3 - b1 a32 A23 - a33 B2 A12 = ... = -81.

Vile vile, ili kukokotoa det2 matumizi badala A12 = B1, A22 = B2, a32 = b3, na, ipasavyo, kufanya mahesabu det3 - a13 = B1, A23 = B2, a33 = b3.
Basi unaweza kuangalia kwamba det2 = -108, na det3 = - 135.
Kwa mujibu wa formula Cramer kupata x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Jibu: x ° = (3,4,5).

Kutegemea applicability ya kanuni hii, utaratibu wa Kramer kutatua mifumo ya milinganyo linear inaweza kutumika moja kwa moja, kwa mfano, kuchunguza mfumo na idadi uwezekano wa ufumbuzi kulingana na thamani ya parameter k.

Mfano 2 Kuamua nini maadili ya kigezo k usawa | KX - y - 4 | + | x + ky 4 | <= 0 ina hasa ufumbuzi moja.

Uamuzi.
kukosekana kwa usawa huu, kwa ufafanuzi wa kazi Moduli unaweza kufanywa tu kama maneno zote mbili ni sifuri kwa pamoja. Kwa hiyo, tatizo hili ni kupunguzwa kwa kutafuta ufumbuzi wa equations linear algebraic

KX - y = 4,
x + ky = -4.

suluhisho la mfumo huu tu kama ndiyo chanzo kikuu cha
Det = k ^ {2} 1 ni nonzero. Ni wazi kuwa hali hii ni kuridhika kwa thamani zote halisi ya parameter k.

Jibu: kwa thamani zote halisi ya parameter k.

malengo ya aina hii pia inaweza kupunguzwa matatizo mengi ya vitendo katika uwanja wa hisabati, fizikia au kemia.