Jinsi ya mahesabu ya eneo la piramidi: msingi, upande na wote?

Katika maandalizi ya mtihani katika wanafunzi hisabati na systematize maarifa ya algebra na jiometri. Ningependa kuchanganya taarifa zote inayojulikana, kama vile jinsi ya mahesabu ya eneo la piramidi. Aidha, kuanzia chini na upande nyuso hadi eneo hilo zima ardhi. Kama upande nyuso hali ni wazi, kama wao ni pembetatu, msingi ni daima tofauti.

Jinsi ya kuwa wakati eneo la chini ya piramidi?

Inaweza kuwa kabisa takwimu yoyote kutoka pembetatu holela kwa n-Gon. Na msingi huu, ila tofauti katika idadi ya pembe, inaweza kuwa sahihi au sio sahihi takwimu. Kwa lengo la kazi ya wanafunzi katika mtihani walipata kazi tu na takwimu sahihi katika msingi. Kwa hiyo, sisi tu kuzungumza juu yao.

pembetatu sawa

Hiyo ni equilateral. Moja kwamba vyama vyote ni sawa na yamehifadhiwa na barua "a". Katika hali hii, eneo chini ya piramidi ni mahesabu ya formula:

S = ⁽² * √3) / 4.

mraba

formula kwa mahesabu ya eneo lake ni rahisi, ni "a" - upande ni tena:

Na S = ^2.

Holela wa kawaida n-Gon

Wakati pande za poligoni wajibu huo. Kwa idadi ya pembe kutumika Amerika barua n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Jinsi ya kuingia katika hesabu ya eneo la lateral na kamili ya uso?

Tangu msingi takwimu ni sahihi, basi nyuso zote ya piramidi ni sawa. Kila moja ya ambayo ni pembetatu pacha, kwa kuwa upande kingo ni sawa. Kisha, ili mahesabu ya eneo la upande wa piramidi haja formula yenye jumla ya monomials kufanana. idadi ya maneno imedhamiria kwa kiasi cha pande msingi.

eneo la pembe tatu isosceles imehesabiwa kwa formula ambayo nusu ya bidhaa msingi ni kuongezeka kwa urefu. urefu huu katika piramidi kuitwa apothem. wajibu wake - "A". formula ujumla kwa ajili ya eneo la uso imara ni kama ifuatavyo:

S = ½ P * A, ambapo P - mzunguko wa chini ya piramidi.

Kuna wakati haijulikani kwa upande msingi, lakini upande kingo ni (a) gorofa na angle kilele (α). Kisha hutegemea kutumia formula zifuatazo kwa mahesabu ya eneo lateral ya piramidi:

S = n / 2 hadi ² * dhambi α.

Task № 1

Hali hiyo. Kupata jumla ya eneo la piramidi, kama msingi wake ni pembetatu sawa na upande wa cm 4 na ina thamani √3 apothem cm.

Uamuzi. Ni lazima kuanza na hesabu ya mzunguko msingi. Kwa kuwa hii ni pembetatu ya mara kwa mara, basi P = 3 * 4 = 12 cm apothem Kama inajulikana, mtu anaweza mara moja mahesabu ya eneo la zima lateral uso :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Ili kupata msingi pembetatu ni thamani ya eneo (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Kuamua eneo lote haja ya mara mbili na kusababisha maadili: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Jibu. 10√3 ^cm2.

Tatizo № 2

Hali hiyo. Kuna mara kwa mara quadrangular piramidi. urefu wa msingi ni sawa na 7 mm, makali imara - 16 mm. Unahitaji kujua eneo lake.

Uamuzi. Tangu polihedron - mstatili na sahihi, kwenye msingi wake ni mraba. Kusikia msingi eneo hilo na pande lateral na uwezo wa kuhesabu piramidi mraba. formula kwa mraba anapewa hapo juu. Na najua nyuso zote upande wa pembe tatu. Kwa hiyo, unaweza kutumia formula Heron kwa kuhesabu maeneo yao.

mahesabu ya kwanza ni rahisi na kusababisha idadi hii: 49 mm ^2. Mahesabu ya thamani ya pili unahitaji semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Sasa tunaweza mahesabu ya eneo la pembetatu pembepacha: √ (19.5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 mm ^2. Kuna pembetatu nne, hivyo wakati kuhesabu idadi ya mwisho unahitaji tele kwa 4.

Kupatikana: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Jibu. 267.576 taka thamani ya ² mm.

Task № 3

Hali hiyo. Wakati wa kawaida quadrangular piramidi ni muhimu kwa mahesabu eneo hilo. Inajulikana upande wa mraba - cm 6 na urefu - 4 cm.

Uamuzi. Njia rahisi ya kutumia formula kwa zao la mzunguko na apothem. Thamani ya kwanza inapatikana tu. pili vigumu kidogo.

Itabidi kukumbuka theorem Pythagorean na kuzingatia pembetatu haki. Ni sumu kwa urefu wa piramidi na apothem, ambayo ni hypotenuse. mechi ya pili ni upande nusu ya mraba, kama polihedron urefu maporomoko katikati ya hiyo.

Maria apothem (hypotenuse ya pembetatu kulia) ni sawa na √ (Machi ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Sasa inawezekana kwa mahesabu ya thamani ya taka: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Jibu. 96 cm ^2.

Tatizo № 4

Hali hiyo. Dana kawaida hexagonal piramidi. pande za msingi wake ni sawa na 22 mm, kingo lateral - 61 mm. ni eneo la uso imara ya polihedron hii ni yapi?

Uamuzi. hoja ndani yake ni sawa kama ilivyoelezwa katika kazi №2. Tu piramidi alipewa huko mraba katika wigo, na sasa ni hexagons.

hatua ya kwanza ni mahesabu kwa eneo chini ya formula hapo juu ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Sasa unahitaji kupata nusu ya mzunguko wa pembe tatu isosceles, ambayo ni ya upande uso. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 utabaki kwenye formula Heron kwa mahesabu ya eneo la kila mmoja pembetatu, na kisha kuzidisha ni kwa mara sita na kwamba aligeuka msingi.

Hesabu ya formula Heron ya: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 cm ^2. hesabu ambayo kutoa lateral uso eneo: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Bado ni kuongeza yao juu ya kujua uso mzima: 5217,47≈5217 cm ^2.

Jibu. Grounds - 726√3 cm ^2, upande uso - 3960 cm ^2, eneo lote - 5217 cm ^2.