Fourier kubadilisha. Fast Fourier kubadilisha. Za kipekee Fourier kubadilisha

Fourier mabadiliko - mabadiliko, kuhusisha kazi fulani ya kutofautiana halisi. Operesheni hii ni kazi kila wakati tuna mawazo sauti mbalimbali. Sikio inazalisha moja kwa moja "hesabu", ambayo kutimiza fahamu zetu haziwezi tu baada ya uchunguzi wa sehemu ya hisabati ya juu. kusikia chombo katika mabadiliko ya binadamu anajenga, ambapo sauti (ya kawaida vibrational mwendo wa chembe katika kati elastic, ambayo kueneza kwa njia ya wimbi katika imara, kioevu au gesi kati) inatolewa katika masafa mfululizo wa ngazi kiasi cha tani ya urefu tofauti. Baada ya hayo, ubongo zamu maelezo kwenye sauti kila ukoo.

Hisabati Fourier kubadilisha

Conversion wa mawimbi ya sauti au michakato mingine vibration (na chafu mwanga na bahari mawimbi na mzunguko stellar au jua) unaweza kufanyika na kupitia mbinu za kihisabati. Hivyo, kwa kutumia mbinu hizi, kazi inaweza kupanuliwa kwa kuanzisha mchakato wa vibrational seti ya vipengele sinusoidal, yaani WAVY curves ambayo kwenda kutoka chini kwa upeo na kisha tena kwa kiwango cha chini, kama mawimbi ya bahari. Fourier mabadiliko - mabadiliko kazi ambayo inaeleza awamu au amplitude wa kila sinusoid sambamba na frequency fulani. Awamu ni hatua ya mwanzo Curve, na amplitude - ya juu kwake.

Fourier kubadilisha (mifano ni umeonyesha kwenye picha) ni chombo chenye nguvu sana, ambayo hutumiwa katika nyanja mbalimbali ya sayansi. Wakati mwingine, ni kutumika kama ufumbuzi milinganyo badala tata ambayo kuelezea taratibu nguvu zinazotokea kuathiriwa na mwanga, joto au nishati ya umeme. Katika kesi nyingine, utapata kufafanua vipengele mara kwa mara katika waveforms tata, kutokana na hii inaweza kuwa kweli kutafsiri uchunguzi mbalimbali ya majaribio katika kemia, dawa na unajimu.

maelezo ya kihistoria

mtu wa kwanza kutumia njia hii alikuwa Kifaransa Mwanahisabati Zhan Batist Fure. Conversion, hatimaye jina lake, awali ilikuwa kutumika kuelezea joto upitishaji utaratibu. Fourier maisha yake yote ya watu wazima kushiriki katika kusoma tabia za joto. Yeye alitoa mchango mkubwa sana na nadharia ya hisabati ya uamuzi wa mizizi ya equations algebraic. Fourier alikuwa profesa wa uchambuzi katika Ecole Polytechnique, Katibu wa Taasisi ya Egyptology, alikuwa huduma kifalme, ambayo lilisabisha wakati wa ujenzi wa barabara ya Turin (chini ya uongozi wake mchanga wa kilomita zaidi ya 80 za mraba elfu ya mabwawa ya malaria). Hata hivyo, wanaharakati wa haya yote si kuacha mwanasayansi kushiriki katika uchambuzi hisabati. Katika mwaka wa 1802 ilikuwa imechukuliwa equation kwamba inaelezea Uenezi wa joto katika mango. Mwaka wa 1807, mwanasayansi kugundua mbinu kwa ajili ya kutatua equation hii, ambayo ilijulikana kama "Fourier kubadilisha".

mafuta uchambuzi conductivity

Watafiti kutumika mbinu za hisabati kuelezea joto upitishaji utaratibu. mfano rahisi, ambapo hakuna ugumu katika hesabu ni kueneza nishati ya joto na pete ya chuma, sehemu moja kuzama katika moto. Kufanya majaribio Fourier nyekundu sehemu ya moto wa pete na kumzika katika mchanga. Baada ya hapo, vipimo joto kufanyika kwa upande kinyume yake. Awali, joto usambazaji ni kawaida: sehemu ya genge - baridi, na nyingine - moto, kati ya maeneo ya unaweza kuona mkali joto gradient. Hata hivyo, wakati wa usambazaji joto kwenye uso chuma, inakuwa zaidi sare. Kwa hiyo, hivi karibuni, utaratibu huu unachukua sura ya sine wimbi. graph ya kwanza hatua kwa hatua kuongezeka na pia itapungua vizuri kwa usahihi sheria za tofauti ya cosine au kazi sine. Wimbi hatua kwa hatua kusawazishia na matokeo ya joto inakuwa sare juu ya uso wote wa pete.

mwandishi wa njia hii alishika kwamba usambazaji awali ni kawaida kabisa inaweza iliyooza katika idadi ya mawimbi ya msingi sine. Kila mmoja wao atakuwa na awamu yake (nafasi ya awali) na joto yake kiwango cha juu. Hivyo kila vile mabadiliko ya sehemu na kiwango cha chini na upeo na nyuma ya kukamilisha mapinduzi takriban mara pete namba kamili. Kipengele kuwa kipindi ilikuwa inaitwa harmonic kimsingi, na thamani kwa vipindi viwili au zaidi - pili na kadhalika. Kwa mfano, kazi ya hisabati kwamba inaelezea joto upeo, awamu au msimamo aitwaye Fourier kubadilisha wa kazi za usambazaji. Scientist kuletwa sehemu moja ambayo ni vigumu maelezo ya hisabati, kwa zana rahisi kutumia - safu ya sine na cosine, kwa kiasi cha kutoa usambazaji wa awali.

kiini cha uchambuzi

Kutumia uchambuzi huu kwa uongofu wa usambazaji joto kwenye kitu kigumu, baada ya sura annular, mwanahisabati hoja kwamba kuongeza muda wa vipengele sinusoidal kusababisha damping yake ya haraka. Hii inaonekana wazi juu ya harmonics kuu na la pili. joto ya mwisho fika mara mbili maadili ya kiwango cha juu na kima cha chini cha katika kupitisha moja, na katika kwanza - mara moja tu. Ni zinageuka kuwa umbali wa safari na joto katika harmonic ya pili ni nusu ile ya msingi. Aidha, gradient ya kipindi cha pili pia kuwa steeper kuliko ya kwanza. Kwa hiyo, kwa kuwa kali zaidi mafuta flux hupita mjane umbali ndogo, basi hii itakuwa damped harmonic mara nne kwa kasi zaidi kuliko kuu, kama kazi ya muda. Katika zifuatazo mchakato itakuwa hata zaidi. Mwanahisabati aliamini kuwa njia hii inaruhusu sisi mahesabu ya mchakato wa ugawaji wa awali wa hali ya joto na muda.

Wito wa siku

Fourier kubadilisha algorithm imekuwa changamoto kwa nadharia ya msingi ya hisabati kwa wakati mmoja. Mapema katika karne ya kumi na tisa, wengi wanasayansi maarufu, ikiwa ni pamoja Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre na Biot hakukubali madai yake kwamba joto la usambazaji wa awali ni iliyooza katika vipengele katika mfumo wa wimbi la msingi na frequency juu. Hata hivyo, Chuo cha Sayansi hakuweza kupuuza matokeo ya kupatikana mtaalamu wa hisabati, na tuzo yake ya Tuzo kwa nadharia ya joto upitishaji wa sheria, pamoja na kufanya kulinganisha wake na majaribio ya kimwili. Katika mbinu Fourier, pingamizi kubwa ni ukweli kwamba kazi discontinuous inawakilishwa na kiasi cha kazi kadhaa sinusoidal, ambayo ni kuendelea. Baada ya yote, wao kueleza kupasuka sawa na curved mistari. Mwanasayansi ya Kisasa hawajawahi wamekutana kama hali hiyo, wakati kazi discontinuous ilivyoelezwa na mchanganyiko wa kuendelea, kama vile quadratic, linear, sine au exhibitor. Iwapo mwanahisabati mema madai yake, jumla ya mfululizo usio wa kazi trigonometric lazima mdogo kwa kasi kamili. Wakati kudai ilionekana ajabu. Hata hivyo, pamoja na mashaka ya baadhi ya watafiti (mfano Claude Navier, Sofi Zhermen) imepanua mawanda ya utafiti na aliwatoa uchambuzi wa usambazaji joto. hisabati, wakati huo huo, kuendelea kuteseka swali la kama kiasi ya kazi kadhaa sinusoidal ni kupunguzwa kwa chapa ya kupasuka.

historia miaka 200

Nadharia hii imebadilika kwa karne mbili, leo ni hatimaye sumu. Kwa msaada wa kazi ya anga au muda ni kuvunjwa katika vipengele sinusoidal ambayo frequency, awamu na amplitude. mabadiliko haya ni kupatikana kwa njia mbili tofauti hisabati. kwanza wao ni kutumika katika kesi wakati chanzo ni kazi endelevu, na ya pili - katika kesi ambapo ni inawakilishwa na wingi wa mabadiliko kipekee ya mtu binafsi. Kama usemi ni kupatikana kutoka maadili, ambayo hufafanuliwa katika vipindi vya kipekee, inaweza kugawanywa katika kadhaa za kipekee sinusoidal masafa maneno - kutoka chini na kisha mara mbili, mara tatu, na kadhalika juu ya msingi. kiasi Hii inaitwa Fourier mfululizo. Kama usemi wa awali seti thamani ya kila idadi halisi, inaweza kuvunjwa katika masafa mbalimbali sinusoidal kila iwezekanavyo. Hiyo inaitwa Fourier muhimu, na uamuzi ina maana mabadiliko ya kazi muhimu. Bila kujali njia kwa ajili ya kupata mabadiliko, kwa kila frequency wanapaswa kuonyesha namba mbili: amplitude na mzunguko. Maadili haya ni walionyesha kama moja ya simu tata. Kujieleza tata vigezo nadharia pamoja na Fourier mabadiliko ya kufanya mahesabu kuruhusiwa mpango wa nyaya mbalimbali ya umeme, uchambuzi wa vibrations mitambo, utafiti wa utaratibu wimbi uenezi na nyingine.

Fourier kubadilisha leo

Siku hizi, utafiti wa utaratibu huu kimsingi majipu chini ya kupata mbinu bora kwa kipindi cha mpito kutoka kazi ya kubadilisha tena kwenye akili. ufumbuzi Hii inaitwa Fourier moja kwa moja na kinyume kubadilisha. Inamaanisha? Ili kuamua muhimu na kufanya Fourier ya moja kwa moja kubadilisha, unaweza kutumia mbinu za kihisabati, lakini unaweza uchambuzi. Licha ya ukweli kwamba wakati wao hutumika katika kuna baadhi ya matatizo, integrals zaidi imepatikana na aliingia katika vitabu hisabati. Kwa maneno msaada wa mbinu namba inaweza kuwa mahesabu, sura ya ambayo ni msingi wa data majaribio, kazi ambazo integrals katika meza hazipatikani, na ni vigumu kufikiria katika mfumo wa uchambuzi.

Kabla ya ujio wa hesabu kompyuta uhandisi mabadiliko hayo kuwa tedious sana, wao wanahitaji mwongozo wa utekelezaji wa idadi kubwa ya shughuli hesabu ambayo hutegemea Idadi ya alama yanayoelezea kazi wimbi. Ili kuwezesha makazi ya leo, kuna programu maalum, kuruhusiwa kutekeleza mpya mbinu za uchambuzi. Kwa hiyo, mwaka wa 1965, Dzheyms Kuli na Dzhon Tyuki kuundwa programu ambayo kujulikana kama "Fast Fourier kubadilisha". Anaokoa muda wa hesabu kwa kupunguza idadi ya kuzidisha katika uchambuzi wa Curve. "Fast Fourier kubadilisha" Njia ni msingi kugawa Curve katika idadi kubwa ya maadili sare sampuli. Kwa hiyo, idadi ya kuzidisha ni kupunguza kwa nusu saa moja kupunguza idadi ya pointi.

Kutumia Fourier kubadilisha

Utaratibu huu ni kutumika katika nyanja mbalimbali: Katika nadharia ya simu, fizikia, usindikaji ishara, combinatorics, nadharia ya uwezekano, cryptography, takwimu, oceanografi, optics, acoustics, na jiometria nyingine. uwezekano Rich kwa ajili ya matumizi yake ni kutokana na idadi ya makala muhimu, walioitwa "tabia za Fourier mabadiliko." Hebu kuchunguza yao.

1. kazi uongofu ni linear operator na kuhalalisha sambamba ni unitary. Mali hii inajulikana kama Parseval theorem, au katika kesi ya jumla, theorem Plansherelja au Pontrjagin uwili.

2. kubadilika kugeuzwa. Zaidi ya hayo, matokeo kinyume ni sura kikubwa sawa kama katika moja kwa moja kushughulikia.

3. sinusoidal maneno msingi ni kazi yao tofauti. Hii ina maana kwamba uwakilishi kama mabadiliko milinganyo mstari na coefficients ya mara kwa mara katika algebraic kawaida.

4. Kwa mujibu wa "convolution" theorem, mchakato inafanya kazi ngumu katika kuzidisha msingi.

5. wa kipekee Fourier kubadilisha yanaweza haraka iliyoundwa kwenye kompyuta kwa kutumia "kufunga" mbinu.

Tofauti ya Fourier kubadilisha

1. Mara nyingi neno hutumiwa kwa kutaja mabadiliko endelevu, kutoa yoyote kujieleza quadratically integrable kama jumla ya tata kielelezo kujieleza na marudio ya maalum angular na amplitudes. aina hii ina aina kadhaa tofauti, ambayo inaweza kuwa tofauti coefficients mara kwa mara. Mbinu ya kuendelea ni pamoja na meza uongofu, ambayo inaweza kupatikana katika vitabu hisabati. kesi wa jumla ni ubadilishaji wa tarakimu, ambapo utaratibu huu unaweza kupatikana kwa taka nguvu ya kweli.

2. Mbinu endelevu ni generalization ya mbinu ya awali ya mfululizo Fourier defined kwa yoyote ya kazi mara kwa mara au maneno, ambayo zipo katika eneo ndogo na kuwawakilisha kama mfululizo wa sinusoids.

3. wa kipekee Fourier kubadilisha. Njia hii hutumika katika kompyuta ili kukokotoa kisayansi na usindikaji digital signal. Kufanya aina hii ya hesabu anahitajika kuwa na kazi ya kuamua juu ya kipekee seti ya pointi ya mtu binafsi, ya muda au mdogo kanda badala ya kuendelea Fourier integrals. Signal kubadilika katika kesi hii inawakilishwa kama jumla ya sinusoids. matumizi ya "haraka" mbinu inaruhusu matumizi ya ufumbuzi digital kwa makusudi ya utendaji.

4. dirisha Fourier kubadilisha ni maoni ya ujumla wa njia classic. Tofauti na ufumbuzi kiwango wakati signal wigo ni kutumika, ambayo ni kuchukuliwa katika aina mbalimbali kamili ya kuwepo kwa kutofautiana hii ni ya riba hasa hapa ni tu ndani mzunguko wa usambazaji na kudumisha variable awali (muda).

5. Fourier ya pande mbili kubadilisha. Njia hii ni kutumika kufanya kazi na arrays ya pande mbili ya data. Katika hali kama hiyo, ubadilishaji ni kazi katika mwelekeo mmoja, na kisha - kwa nyingine.

hitimisho

Leo, njia Fourier ni imara unakamilika kikamilifu katika nyanja mbalimbali ya sayansi. Kwa mfano, mwaka 1962 ni kufunguliwa sura ya DNA mbili helix kutumia Fourier uchambuzi kwa kushirikiana na X-ray diffraction. fuwele ya hivi karibuni ililenga nyuzi DNA, kusababisha sura ambayo ni kupatikana kwa diffraction, kumbukumbu kwenye filamu. Picha hii alitoa taarifa kuhusu umuhimu wa amplitude kwa kutumia Fourier kubadilisha na muundo huu wa kioo. data ya Awamu kupatikana kwa kulinganisha kadi DNA diffraction na kadi kwamba ni kupatikana katika uchambuzi wa miundo sawa kemikali. Kwa sababu hiyo, wanabiolojia kurejeshwa muundo wa kioo - kazi ya awali.

Fourier kubadilisha jukumu kubwa katika utafiti wa anga za juu, fizikia ya vifaa vya semiconductor na plasma, acoustics microwave, oceanografi, rada, seismology na mitihani ya matibabu.