Jumla ya pembe ya pembetatu. theorem ya jumla ya pembe ya pembetatu

pembe tatu ni poligoni kuwa pande tatu (pembe tatu). Mara nyingi, sehemu imeonyeshwa kwa barua ndogo sambamba herufi kubwa, ambayo kuwakilisha vipeo kinyume. Katika makala hii sisi kuangalia aina hii ya maumbo ya kijiometri, theorem, ambayo amefafanua nini ni sawa na jumla ya pembe ya pembetatu.

Aina pembe kubwa

aina zifuatazo za poligoni kwa vipeo tatu:

• papo hapo-angled, ambapo pembe zote ni mkali,
• mstatili kuwa moja angle haki, upande kutengeneza hiyo, inajulikana miguu, na upande kwamba ni nia kinyume na angle haki inaitwa hypotenuse;
• butu wakati moja angle ni butu ,
• pembepacha, ambaye pande zote mbili ni sawa, na wao wanaitwa lateral, na la tatu - pembetatu na msingi;
• equilateral kuwa tatu pande sawa.

mali

Kutenga mali ya msingi kuwa ni tabia ya kila aina ya pembetatu:

• kinyume upande mkubwa daima kubwa angle, na kinyume chake;
• ni pembe sawa kinyume sawa kwa ukubwa wa chama, na kinyume chake;
• katika pembe tatu akiwa na pembe mbili papo hapo,
• angle ya nje zaidi kuliko angle ndani si karibu dharura;
• Jumla ya pembe yoyote mbili ni daima chini ya digrii 180,
• nje angle sawa kiasi cha pembe nyingine mbili, ambazo mezhuyut naye.

theorem ya jumla ya pembe ya pembetatu

theorem inasema kwamba kama kuongeza hadi pembe zote za sura geometric, ambayo iko katika ndege Euclidean, basi mwisho wao utakuwa na digrii 180. Hebu tujaribu kuthibitisha theorem hii.

Hebu tuna pembetatu holela na vipeo KMN. Katika juu ya M kushikilia sambamba moja kwa moja na line KN (hata line hii inaitwa Euclid). Ikumbukwe sehemu A ili alama K na A mpangilio kutoka pande mbalimbali za line MN. Sisi kupata angle hiyo ya AMS na MUF, ambayo, kama mambo ya ndani, uongo crosswise kuunda hupishana MN kwa kushirikiana na CN moja kwa moja na MA, ambayo ni sambamba. Kutokana na hili ifuatavyo kwamba jumla ya pembe za pembetatu, iko katika vipeo ya M na N ni sawa na ukubwa wa CMA pembeni. pembe zote tatu unahusisha jumla sawa na jumla ya pembe ya KMA na MCS. Tangu data pembe ya ndani ya jamaa upande mmoja sambamba mistari CL na CM MA katika hupishana, mwisho wao ni nyuzi 180. Hii inathibitisha theorem.

matokeo yake

Ya juu theorem juu ina maana kinakaribia yafuatayo: kila pembetatu ina pembe mbili papo hapo. Ili kuthibitisha hili, hebu kudhani kwamba takwimu hii kijiometri ina moja tu ya papo hapo pembeni. Unaweza pia kudhani kwamba hakuna pembe si mkali. Katika hali hii ni lazima pembe mbili, ukubwa wa ambayo ni sawa na au zaidi kuliko nyuzi 90. Lakini basi jumla ya pembe ni zaidi ya nyuzi 180. Lakini hii haiwezi kuwa, kama kwa mujibu wa theorem Jumla pembe ya pembetatu ni sawa na 180 ° - hakuna zaidi, si chini. Hivyo ndivyo ilipaswa kuthibitishwa.

Mali nje pembe

ni jumla ya pembe ya pembetatu, ambayo ni nje ni nini? jibu la swali hili yanaweza kupatikana kwa kutumia moja ya njia mbili. kwanza ni kwamba unahitaji kupata kiasi cha pembe, ambayo ni kuchukuliwa moja katika kila kipeo, ambayo ni, pembe tatu. pili ina maana kwamba unahitaji kupata kiasi cha pembe sita katika vipeo. Ya kukabiliana na mwanzo wa mfano halisi wa kwanza. Hivyo, pembetatu ina sita pembe ya nje - ya juu ya kila ya mbili. Kila jozi ina pembe sawa kati yao, kwa kuwa wao ni wima:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Aidha, ni inajulikana kwamba kona ya nje ya pembetatu sawa jumla ya mbili ya mambo ya ndani, ambayo si mezhuyutsya naye. kwa hiyo,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Kutokana na hayo inaonekana kwamba kiasi cha pembe ya nje, ambayo ni kuchukuliwa moja kwa moja karibu kila kipeo itakuwa sawa na:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Kutokana na ukweli kwamba kiasi cha pembe sawa nyuzi 180, inaweza alisema kuwa ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Hii ina maana kwamba ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Kama chaguo la pili ni kutumika, jumla ya pembe sita itakuwa na alama za mkuu mara mbili. Yaani Jumla ya pembe ya pembetatu nje itakuwa:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pembetatu haki

Nini ni sawa na jumla ya pembe ya pembetatu haki, ni kisiwa? Jibu ni, tena, kutoka Theorem, ambayo inasema kwamba pembe ya pembetatu kuongeza hadi nyuzi 180. sauti Madai yetu (mali) kama ifuatavyo: katika pembe tatu kulia pembe mkali kuongeza hadi nyuzi 90. Sisi kuthibitisha ukweli wake. Na iwe kutokana pembetatu KMN, ambayo ∟N = 90 °. Ni muhimu kuthibitisha kuwa ∟K ∟M = + 90 °.

Hivyo, kwa mujibu wa theorem ya jumla ya pembe ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Katika hali hii ni kusema kwamba ∟N = 90 °. Zinageuka ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Hiyo ni ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Hiyo ni nini sisi inapaswa kuthibitisha.

Mbali na matokeo juu ya pembetatu haki, unaweza kuongeza hizi:

• pembe, ambayo uongo juu ya miguu ni mkali,
• hypotenuse ya pembe tatu kubwa kuliko yoyote ya miguu;
• Jumla ya miguu zaidi ya hypotenuse;
• mguu wa pembe tatu, ambacho kiko kinyume na angle ya nyuzi 30, nusu ya hypotenuse, ambayo ni sawa na nusu yake.

Kama mali nyingine ya sura geometric unaweza kuwa tofauti Pythagorean theorem. Yeye anasema kuwa katika pembe tatu kwa angle ya nyuzi 90 (mstatili), jumla ya miraba ya miguu sawa mraba wa hypotenuse.

Jumla ya pembe ya pembetatu pembepacha

Mapema sisi alisema kuwa pembetatu isosceles ni poligoni kwa vipeo tatu, zenye mbili pande sawa. Mali hii inajulikana kijiometri takwimu: pembe kwenye msingi wake sawa. Hebu kuthibitisha hili.

Kuchukua pembetatu KMN, ambayo ni ya pembepacha, SC - msingi wake. Tunahitajika kuthibitisha kwamba ∟K = ∟N. Hivyo, hebu kudhani kwamba MA - KMN ni kigawakati ya pembetatu yetu. ICA pembetatu na ishara ya kwanza ya usawa ni pembetatu MNA. Yaani, kwa nadharia tete kutokana na kwamba CM = NM, MA ni upande wa kawaida, ∟1 = ∟2, kwa sababu MA - kigawakati hii. Kwa kutumia usawa wa pembetatu mbili, mtu anaweza kusema kwamba ∟K = ∟N. Kwa hiyo, theorem ni imeonekana.

Lakini nia ya, nini ni jumla ya pembe ya pembetatu (pembepacha). Kwa sababu katika hali hii haina makala yake, tutakuwa kuanza kutoka theorem kujadiliwa hapo awali. Hiyo ni, tunaweza kusema kwamba ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, au 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kama ∟K = ∟N). Hii si kuthibitisha mali, kama theorem ya jumla ya pembe ya pembetatu mara imeonekana mapema.

Ila mali kuchukuliwa pembe za pembetatu, pia kuna kauli muhimu:

• katika pembetatu sawa urefu, ambayo amekuwa dari kwa msingi, ni wakati huo huo kigawakati wastani wa pembeni ambayo ni kati ya pande sawa na mhimili wa ulinganifu wa msingi wake;
• wastani (kigawakati, urefu), ambayo hufanyika kwa pande ya takwimu geometric, ni sawa.

pembetatu sawa

Pia inaitwa haki, ni pembe tatu, ambayo ni sawa kwa vyama vyote. Na kwa hiyo pia sawa na pembe. Kila mmoja wao ni nyuzi 60. Hebu kuthibitisha mali.

Hebu kudhani kwamba tuna pembetatu KMN. Tunajua kwamba KM = HM = KH. Hii ina maana kwamba, kwa mujibu wa mali ya pembe ziko chini katika pembetatu sawa ∟K = ∟M = ∟N. Kwa kuwa, kwa mujibu wa kiasi cha pembe ya pembetatu theorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, basi x 3 = 180 ° ∟K au ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Hivyo, Madai ni imeonekana. Kama inavyoonekana kutoka ushahidi juu kulingana na theorem hapo juu, jumla ya pembe ya pembetatu equilateral, kama jumla ya pembe ya pembetatu nyingine yoyote ni nyuzi 180. Kwa mara nyingine tena kuthibitisha theorem hii si muhimu.

Bado kuna mali tabia ya pembetatu equilateral:

• wastani kigawakati urefu katika takwimu za kijiometri kufanana, na urefu wake ni mahesabu kama (x √3): 2;
• kama poligoni hii circumscribing mduara, kisha Radius itakuwa sawa na (x √3): 3;
• kama andikwa katika mduara pembetatu sawa, radius yake itakuwa (x √3): 6;
• eneo la takwimu geometric ni mahesabu ya formula: (a2 x √3): 4.

butu pembetatu

Kwa ufafanuzi, butu-angled pembetatu, moja ya pembe yake ni kati ya nyuzi 90 ili 180. Lakini kutokana na ukweli kwamba wengine pembe mbili ya umbo geometric kali, inaweza kuhitimishwa kwamba hawana kuzidi nyuzi 90. Kwa hiyo, jumla ya pembe ya pembetatu theorem kazi katika kuhesabu jumla ya pembe katika pembe tatu butu. Kwa hiyo, tunaweza kusema kwa usalama, kwa kuzingatia theorem hapo juu kuwa jumla ya pembe butu wa pembe tatu ni nyuzi 180. Kwa mara nyingine, theorem hii haina haja ya re-uthibitisho.